对数正态分布下的权证价值与风险规避
在路易斯·巴彻里亚研究的基础上，凯斯·斯普克林 Case m. Sprenkle）进行了进一步的研究，1964年在《认股权价格是预期和偏好的指示器》一文中，凯斯·斯普克林解决了路易斯·巴彻里亚文章中的两个问题。他假设股票价格是对数正态（ Logarithmic normal distribution）分布的同时，允许在随机游走中存在漂移项（这就排除了证券价格为负，同时也允许风险规避），其均值和方差均为常数，得出看涨权证的价值由式（3-2）决定：为了更好地理解斯普克林模型思想如何接近布莱克斯科尔斯的思想，下面将斯普克林模型作为布莱克斯科尔斯模型的修正：
3-2
式中：S为股票价格；K为执行价格；T-t为有效期限；参数p为股票价格的平均增长率；π则是风险规避的度量。
凯斯·斯普克林的研究将假设股票价格满足动态的几何布朗运动，而不是算术布朗运动这一论点更接近现实。该成果提高了权证价值判断与风险评估的准确性，为今后的研究提供了有益的尝试，作为现今最为经典的 Black-Scholes模型的创始者—费希尔·布莱克（ Fischer black）曾经公开说明，他和马龙·斯科尔斯（ Myron Scholes）使用斯普克林的文章得到了他们方程的解。
但是这一判断模式同样没有对股权的期望值进行贴现，并且在实际运用中存在一定的困难，如获得认股权证的价格前首先必须对股票价格的平均增长率ρ和风险厌恶系数x作出估计，但这两者的估计很困难甚至凯斯·斯普克林自己也没有能够估计出p和π的值。
