倪世杨 Z0019629
上一篇文章我们详细介绍了几何布朗运动（Geometric Brownian Motion, GBM）的建模直觉，并分析了GBM的优势和局限。GBM是股票/标的价格的模型，尚未涉及衍生品定价。本篇文章将详述BSM Equations的推导，讲解“无风险套利不存在”的假设是如何引出衍生品的定价范式的。
该假设到BSM Equations的逻辑链路下：
1. 首先，利用伊藤引理得到衍生品价格的短期变化
2. 接着，利用标的和衍生品短期价格变化之间的关系，用动态对冲的手段构建无风险组合
3. 无风险组合应只产生无风险收益。利用这一公理构建BSM Equations。
事实上每一步的数学推导都很机械，稍加练习便能掌握。难点在于推导的前置条件。例如：
针对步骤1，伊藤引理要求衍生品价格和标的价格服从怎样的随机过程？这里的限制在实战里是否重要？
针对步骤2，动态对冲的前提假设是什么？如果扭曲了假设，对推导过程有什么影响？
针对步骤3，倘若做空需要支付成本，或借入的成本和借出的收益不一致，该如何反应到公式当中？
本文在结合对BSM Equations的推导过程，对上述问题做阐述。
Step1伊藤引理：随机版本的多变量函数全导
伊藤引理就是随机过程版本的多变量复合函数全导。
我们先复习下非随机的多变量函数全导。如果
，那随着时间t往前进一小步，f函数值得变化为
含义为极短时间内，df的变化可以近似看做各个自变量的变化对f的影响的和。特殊地，如果
，有
全导的公式形式上是泰勒一阶展开，但笔者认为其本质是“当时间足够短时，所有重要的变化都是时间的线性函数”。这句话真的对吗？取决于“重要”怎么定义。微积分的先驱们把“重要”借助“反导数”这一理论工具定义了出来，建立了一套自洽的体系；这种体系的自洽性极好地拟合了许多现实现象的自洽性，于是微积分便作为数学工具广为人接受。
但当我们讨论随机过程的函数时，上面这句话便有问题了。首先随机项的波动幅度随着时间变短衰减得很慢。例如《再看BSM之一：如何理解几何布朗运动》中用几何布朗运动模拟中海油股价变动的例子中，当
时，随机波动的标准差仍有0.3%，而确定性收益仅有0.0003%。已知后者是线性的，前者不在一个数量级上，很难说它也是线性的。再者，随机波动会引入额外的线性波动。以布朗运动(
)为例，其
时长内的Quadratic Variation
（如果标记
，那前式刚好成立，所以直觉上可以这么理解）。这意味者在求全导时，不应光考虑线性变化，还应考虑随机过程的二次项的变化。
由此，对t作一阶展开，对xt
作二阶展开，忽略交叉项（交叉项为
，幂次一定高于dt可以忽略）可以粗糙地推出伊藤引理：
一般假设xt符合伊藤过程，即
带入得到
这里最关键的限制是伊藤过程是个连续的过程，
。连续模型显然无法处理jumps。
Step2 动态对冲：怎么复制任何一种衍生品
记标的价格为xt，任何衍生品价格都可以被看做
。假设xt符合伊藤过程（没有跳空），那上式一直成立。这意味着如果在t时刻持有1手衍生品多头，再持有
手标的空头，那从t时刻到t+dt时刻，该组合的价值变动完全不具备随机性。记这个组合为
组合价格短期变动为
这里有几个关键问题：
1. 现实里不能连续、无成本地交易，这对该步骤和最终BSM的结果影响大吗？
就判断隐波的高低而言，我们认为影响不大。BSM formula整体的结果是说“如果存在连续、无成本的交易，那欧式期权价格和波动率应有以下函数关系”。现实里我们从来不知道波动率是多少，所以BSM真正的用法是“如果存在连续、无成本交易，衍生品价格可以用这种方法折成波动率。”我们在乎的是这种折算方式否能是期权价值的好标尺，它在现实中能否实现并不重要。
就希腊字母而言，有影响。这意味着我们算出来的delta是基于一个错误前提的delta，那它一定是错的。这告诉我们无需在delta怎么算上过分纠结。优化策略时优先考虑别的因素。
2. 得到BSM equation需要恒定波动率吗？
不需要，只需要未来波动率可观测就行。这说明动态对冲在理论上很有可泛化性。当然实战里从来看不到波动率，所以这个结论对实战意义不大。
Step3 衍生品定价：没有风险的头寸只能拿无风险收益
投资组合
里没有任何不确定性，那它应该只能挣无风险收益。列等式的思路如下
等式右边是无风险收益
整理后得到
这就是BSM equations。它描述了不存在无风险套利时，衍生品和标的之间的价格关系。
可以理解为标的持仓成本：持有多头标的，我需要支付资金成本r，但能收入分红q，将券借出，又能收获c的利息。
这里又有两个问题：
1. 持仓成本的概念可泛化性有多强？答案是只要持仓成本能被连续计提，就能被泛化。以个股为例，个股的分红集中在分红日发生，但如果融券者按照时间将分红计提给出借方，这种持仓成本就能符合公式。
2. 借入成本和借出收益不一致怎么办？只能列两个公式来算。
总结
本篇文章核心结论如下：
- BSM 最重要的前提可能是股票价格没有跳空。拿掉这一前提，动态对冲将不成立，后续的量化过程将不复存在。所以对跳空大的资产，用BSM给期权定价时要带有强烈的怀疑。
- 连续交易、无交易成本的假设可能没那么重要。就算这个前提不满足，BSM算出来的期权隐波代表了“那个理想世界里的期权价值”，仍然是一把稳定的、自洽的尺子。
- 连续交易、无交易成本对希腊字母有影响，这意味着算出来的delta永远是错的。这提醒我们在优化策略时，精细化地算希腊字母可能是投入产出比很低的一件事。
- 推导BSM Equations时一定注意，等式左端是持有无风险组合的总收益，切勿忽略资本利得以外的部分。
