期权定价公式
我们已经定性地解释了看涨期权是五个变量的函数。这些变量是：
1.标的资产的现行价格，对股票期权而言是普通股股票的价格。
2.执行价格。
3.距到期日的时间。
4.标的资产的方差。
5.无风险利率。
现在是以精确的期权估值模型来代替定性模型的时候了，我们选用的是布莱克-斯科尔斯期权定价模型，你可将数值代入布莱克-斯科尔斯模型而求得期权价值。布莱克-斯科尔斯模型由一个令人印象深刻的公式来表示。虽然学生们很乐意了解它，但要在本书对该公式进行推导简直是不可能的，不过，对这一成就略作鉴赏并做直观的了解是适当的。
学生有时会问，为何这个NPV公式不能用于评估看涨和看跌期权？这个问题提得好，因为评估期权的最早尝试就是利用NPV。不幸的是，由于谁也无法确定出一个合适的折现率，这种尝试一直没有成功。期权一般要比其标的股票有较大的风险，但无人确切地知道风险究竟大多少。
Black和Scholes攻克了这个难题，他们指出：借钱购买股票的策略的风险等于看涨期权的风险。那么，若股票价格已经知道，就能将看涨期权的价格确定为能使其收益等于借款购股收益的那样一个值。我们考虑一个用看涨期权与股票的组合消除所有风险的简单例子，通过它来说明布莱克-斯科尔斯方法的直观背景。因为我们让股票的未来价格取仅有的“两个值”之一，所以这个例子能说明问题。我们称此例为二叉树期权模型。由于消除了股票价格取其他值的可能性，我们能够精确地复制看涨期权。
二叉树期权模型
考虑下面这样一个例子。假定股票的市场价格是50美元，而在年末将是60美元或40美元。再假定有一个以此股票为标的的看涨期权，期限是1年，执行价格为50美元。投资者可以按10%的利率借款。我们的目标是决定看涨期权价值。
为了正确评估期权价格，我们需要研究下述两个策略。第一，仅仅买进看涨期权；第二，买进0.5股股票的同时借18.18美元，之所以是19.18美元是为了年末支付本金与利息之和是20美元（=18.18美元x1.10）。
下面你将看到，第二个策略产生的现金流完全等于买一个看涨期权获得的现金流（稍后将说明我们是如何得到购买的股票和借款的数量）。由于现金流的匹配，我们说我们正用第二个策略复制看涨期权。
1年之末的未来盈利表述如下：
注意，“购进看涨期权”策略的未来盈利结构是可以被“购进股票”与“借钱”策略所复制的。即在这两种策略下，如果股价上升投资者都将获得10美元；如集股价下降，投资者都将一无所获。因此，就交易者而言这两个策略是相同的。
风险中性评估 在结束这个简单例子之前，我们应当对一些明显特征做一些评论。我们发现即便不知道股价上升或下降的可能性，也能知道期权的价值!如果乐观派认为股价上升的可能性很高。而悲观派认为很低，他们也能达成相同的期权价格。这是为什么呢？答案是当前50美元的股价已经平衡了乐观派和悲观派的观点。期权反映了平衡是因为它的价值依存于股价。
对此的洞察为我们提供了评估着涨期权的另一种方法。如果我们不需要知道二叉树概率就可以评估看涨期权的价值，也许选用任意概率仍能获得正确的答案。假定选择使股票收益等于无风险利率10%的概率组，我们知道当股价上涨时，股票收益率为20%（=60美元/50美元-1），当股价下跌时，股票收益率为-20%（=40美元/50美元-1）。
为什么我们选择能使期望收益等于10%的概率呢？我们用的是投资者为风险中性的特殊例子。这种情形发生在任何资产的期望收益（包括股票和看涨期权）等于无风险利率之时。换言之，此种情形发生在无论资产的风险如何，投资者都不对超出无风险收益之外的部分提出附加补偿的情况下。
如果假定股票的期望收益率大于无风险利率又会发生什么呢？看涨期权的价值仍然是6.82美元。但是计算将比较困难。例如，如果我们假定股票的期望收益率等于11%，那么我们就得计算看涨期权的期望收益率。尽管看涨期权的期望收益率肯定比11%高，但是需要付出很大的努力才能精确算出。我们认为不值得为此花费时间，因此我们（包括大多数其他金融学家）都假定风险是中性的。
总之，上述内容允许我们用两种方式评估看涨期权的价值：
1.确定复制一个看涨期权策略的成本。该策略涉及通过部分借款投资部分股票。
2.在假定风险中性的条件下，计算上升和下降的概率。
使用这些概率，并结合无风险收益率，我们就能折现看涨期权在到期日的收益。
