几何布朗运动下的权证价值判断与风险差异
保罗·萨缪尔森（ Polo a. Samuelson）早在1956年就大力推崇路易斯·巴彻里亚的理论成果，后来进一步拓展了詹姆斯·伯恩斯的模型，认为股票价格不能为负是一个基本原则，1965年保罗·萨缪尔森在《认股权定价的合理理论》中假定股票价格服从几何布朗运动，首次用几何布朗（ Geometric brown）运动代替路易斯·巴彻里亚的算术布朗运动来刻画标的资产价格的运动过程。并指出权证等行生金融产品中包含来自股票不同层次的风险，权证的风险水平与股票的风险水平不同。将以往的权证判断模型修改为：
（3-4）
式中：S为股票价格，K为执行价格，T一t为有效期限，将参数p仍设定为股票价格的平均增长率，则是看涨权价格的平均增长率。上述公式中的参数依赖投资者对风险或对股票收益率的偏好。
保罗·萨缪尔森的研究被视为权证理论发展史上颇有标志的研究，由于他的推广，对于权证价值判断研究逐渐盛行，其突出的贡献主要表现在两个方面：一是用几何布朗运动代替路易斯·巴彻里亚的算术布朗运动来刻画标的资产价格的运动过程；二是提出了权证与其标的资产—股票具有不同的风险水平。但在这一模型中两个参数的估计也同样困难。因此在1969年保罗·萨缪尔森和莫顿（ Merton）提出了一个不同的权证判断模式他们认为：存在一个典型的投资人代表；并假定典型投资人的效用函数形式贴现率部分地由投资人所持有的全部股票和期权决定。根据其假定的投资人效用函数的最优解，得出权证价格是以股票价格为自变量的函数。这种模式更为接近以后经典的布莱克-斯科尔斯模型。
