存货模型Ⅱ及其评述
第二类存货模型主要从分析做市商的决策问题（最优化问题）着手，考察了交易成本（包括存货成本）对证券价格的影响。由于市场买卖报价是由做市商设定的，因此，可以将做市商的决策问题，即报价设定问题，看做是选择最优定价策略以使效用最大化的过程，因而证券价格是做市商的最优化行为的结果。
具体地，依据做市商的决策问题中所考虑的时期数的不同，做市商的决策问题分为单时期模型和多时期模型，前者以 Stoll（1978）为代表，后者以Ho- Stoll（1981）为代表。
一、Stoll模型
stol（1978）分析了证券市场上做市商服务的供给问题。他认为，做市商的确是在为市场提供便利，因为在交易者不能找到完全匹配的反向订单时，是做市商愿意在自己的账户上交易以使交易者的交易迅速达成。但是，做市商毕竟是一个市场参与者，并且是风险厌恶的，因此，虽然他愿意为满足其他交易者的交易意愿而改变其自身理想的资产组合，但他必然要求得到补偿，以弥补为此承担的风险。这种补偿来就自于买卖报价价差，也就是说，市场价差反映了做市商为承担风险而付出的成本。这样，做市商的决策问题也就变成了决定合适的价差来抵消其提供做市服务成本这样一个问题。而在前面讨论的 Garman（1976）和 Amihud- Mendelson（1980）分析中，做市商被假设成是风险中性的垄断者，并且价差很大程度上是其市场权力的反映，而不是补偿提供做市服务的成本。
stoll（1978）分析了做市商提供做市服务，也就是 Demsetz所说的“即时性”所承担的成本。So认为，这些成本来源于三个方面：首先，做市商被迫持有次优资产组合时所发生的持有成本，这些成本反映了做市商的风险暴露，从而影响作为风险厌恶者的做市商的决策；其次，在交易机制中存在着订单处理的费用，如交易所费用、流转税等；最后，在与知情交易者（比做市商知道更多信息的交易者）交易时所发生的损失。这种由于信息不对称而产生的成本实际上是信息模型（ Information- Based Model）的根本出发点，但它并没有成为Sol研究的重点。
Stoll（1978）设想了一个两阶段问题，做市商的目标是使期末的期望财富最大化。这里的财富是由做市商初始财富和以后的头寸变动决定的。做市商的决策问题是在时期1设定买卖资产的价格，并在时期2出清所有资产。做市商可以以无风险利率R融资购买存货，也可以以尺借出多余资金。由于所考虑的时间很短，并且做市商对资产的真实价格及真实收益率有外生的（不变的）看法。
Stoll（1978）的基本模型是这样的：假设做市商的初始财寓为W，它由最优有效组合的初始头寸价值Q，以及其余的资金组成。令Q为在股票i上成交的价值，即股票的真实价格乘以股票数量。由于做市商知道股票的真实价值，因此，Q4是确定的。在进行一次交易以后，做市商的财富由式（2.15）给出
式中，R是初始资产组合的收益率，R是股票i的收益。若Q<0，则表示是卖出该股票。在式（2.15）中，（1+R）（Q4-C）表示存货的持有成本，其中C表示做市商交易Q金额所支付的成本，它实际上是以买卖报价与真实价值之间的差额形式表示的。无论买入还是卖出，做市商都会承担该交易成本。
依据假设，只有在进行交易至少不比不继续交易差时，做市商才会进行交易。因此，只有在预期效用不变的情况下，做市商才会进行交易，因此有
这里，a是做市商的风险厌恶系数，Q是做市商存货的价值，可是证券的收益和最优有效证券组合P（市场证券组合）的收益的协方差，o2是证券i的收益的方差。c（Q）=0表示做市商愿意持有价值Q的证券的单位成本，该成本函数表明做市商提供及时性服务的成本取决于以下几个因素：
①做市商的初始财富W和风险偏好a将直接决定成本。初始财富越多风险程度越低，则成本越小。
②做市商的存货头寸Q将影响成本。存货头寸越高，买入成本就越高，卖出成本相应就越低。因此，越使做市商偏离其偏好头寸的交易，对做市商来说成本越大。
③所交易证券收益的方差σ2与市场证券组合的协方差将影响成本。
④证券i上的成交金额Q也会影响成本，并且持有证券的单位成本与该证券的成交金额成正比，即总的成本与该证券的成交金额的平方成正比。做市商通过设定交易价格来补偿这些成本。如果市场是竞争性的，那么做市商的买卖报价将刚好弥补提供及时性交易的成本。因此，买卖报价是交易成本的函数。设证券i的真实价格为P，则做市商买入真实价值为Q的证券所对应的最优买入报价为
也即，买卖报价的价差是独立于做市商的原有存货头寸Q的，并且与证券和最优有效证券组合之间的协方差无关。由式（218）至式（2.20）可知，买卖报价与证券真实价值的百分比是与交易规模，即|Q|成线性关系的，交易规模越大，价差越大。并且，由于价差不随着存货多少而变化，因此，也不会在成交后发生变化。但做市商的存货头寸会影响买卖报价的设定。存货头寸越大，则做市商买入的成本越高，因此做市商会相同幅度地降低买卖报价。相反，存货头寸越小，则做市商买入的成本越小，做市商也会相同幅度地提高买卖报价。总之，存货只会影响买卖报价的位置，而不会影响买卖报价价差的大小。
除了做市商资产组合的暴露对交易价格的影响外， Stoll（1978）还进步考虑了另外两种影响交易价格的成本。一是订单处理成本对价格的影响。他假设每笔交易的订单处理成本是相同的，因此，随着订单规模的增加，到位交易数量的订单处理成本会下降。由于资产组合成本是随着订单规模的增大而增大的，所以，做市商的单位交易数量的总成本函数就是“U”形的。对做市商来说，存在着最优的成本最小化规模，即偏爱的交易规模。二是逆向选择的成本效应。他假定逆向选择成本是独立于交易规模之外的，因此，对于做市商的成本而言，逆向选择成本仅仅是增加了一个固定的成本项而已。但为了弥补这一成本，做市商将在每一次交易中增加一些价差。
二、Ho-Stoll模型
对于Stoll模型中没有考虑多时期存货最优化的缺陷，Ho和Stoll（1981）、Ohara和Old（1986）则将时间引入了分析框架。
Ho和 Stoll（1981）将分析从单期扩展到了多时期，并假设订单流和资产组合的收益率都是随机的。买入订单和卖出订单是随机的，其到达速率取决于做市商的定价策略。Ho和Sto假设做市商是垄断的，其目标是最优化期末财富的期望效用，并且，做市商对风险的态度也将影响其定价。Ho和Sul用有限时期（T时期）的动态规划分析方法来描述做市商的最优定价策略，也就是说，在绐定的做市商的现金、存货头寸和初始财富的情况下，做市商如何设定买卖报价。
Ho和 Stoll（1981）证明，在有限时期的交易框架下，做市商的最优定价策略有三种重要性质：
①做市商设定的买卖价差取决于交易的时期。
在接近交易结束时，由于做市商承担存货风险或资产组合风险的时间所剩不多了，因此，做市商所承担的风险也将下降。在到期时这种极端情况下，做市商设定的价差将等于风险中型的做市商出于市场权利而设定的垄断价差。相反，随着交易时期的延长，做市商设定的买卖价差也会相应地增加，以弥补做市商承担的存货风险或资产组合风险。换句话说，Ho-Sol（1981）认为，买卖价差可以被分解成风险中型价差和针对不确定性（风险）的调整两部分之和。
②价差中针对风险的调整两部分取决于做市商的相对风险厌恶系数、交易规模和证券的风险程度（价格变化的瞬时方差）。
该结论有点类似于Stol（1978）在单期模型中所得到的结果。所不同的是，Ho和Sll认为，交易的不确定性本质上并不影响价差。尽管在不同的交易时期，交易的不确定性对做市商所承担的存货风险或资产组合风险有不同影响，但是，价差中针对风险的调整部分并不依赖于订单到达过程的变动性，这是因为交易的变动性不是对做市商有直接影响，而是通过它对做市商整体资产组合头寸的影响间接地产生影响。
③做市商设定的买卖价差独立于存货水平之外。
这一性质在Sto单期模型中也存在，它意味着价差不受做市商存货头寸的影响，也不受存货的预期变化的影响。尽管做市商设定的买卖报价受存货水平的影响，但是，做市商是通过移动价差相对于资产真实价值的位置来影响订单的到达过程，而不是通过增加或减少价差本身。存货水平对买卖报价的影响程度取决于做市商的相对风险厌恶程度、证券的风险程度和初始财富。与Ho和Sol（1981）多期模型相比， Ohara和 Oldfield（1986）的多期模型有两个重要特征：一是ohar和 Oldfield（1986）假定交易者不仅可以提交市价订单，还可以提交限价订单，从而分析了同时收到市价订单和限价订单的风险厌恶做市商的动态定价策略；二是Oha和 Oldfield模型是一个离散时间的多时期模型，而不是Ho和Stl那样的连续时间模型。 Ohara和Oldfeld（1986）假设，一个交易日被划分成N个交易区间，并且做市商的目标是最大化无穷多个交易日的效用。这样，做市商的动态定价策略实际上是在无穷的时间上考察做市商的定价行为。在 ohara和 Oldfield（1986）的分析中，做市商在每个交易日开始时设定买卖报价，随后在该时期都有市价订单到达，在每个交易时期后，做市商设定新的买卖报价，因此， Ohara和 Oldfield模型更接近于有组织的交易所交易结构。Ohara和 Oldfield（1986）还证明了，做市商的买卖价差可以分解成对已知的限价订单部分、针对预期的市价订单的风险中性的调整部分以及针对市价订单和存货头寸价值的不确定性的风险调整部分三个部分。Ohaa和Odfild（1986）认为，风险厌恶的做市商设定的买卖价差会小于风险中性的做市商设定的价差。
至于存货对做市商定价策略的影响，Ohaa和 Oldfield（1986）认为，存货对做市商定价策略的影响是普遍的，即不仅影响做市商设定的买卖价差，也影响价差的位置，即具体的买卖报价。
三、存货模型Ⅱ的评述
Stoll（1978）的单期模型较为简单，因而其适用性较强。例如，假设做市商是风险中性的或能够有效地分散风险，那么，提供做市服务的成本会急剧下降，甚至为零（即只剩下订单处理成本）。该模型隐含着做市商将采取多种措施，如相互合作来分散风险。
Stoll：模型可以部分地解释不同市场间价差的差异是由于不同市场上做市商的风险承受能力的不同造成的。
Stoll模型的不足之处在于它是一个单期模型，做市商被假设只在时期1进行一次交易，并在时期2出清。因此，对做市商而言，他持有存货头寸的时间的长短是固定的。而在现实的证券市场上，由于订单流是随机的，因此，做市商的存货头寸将在什么时候被清算也是不确定的。此外，关于证券真实价值和资产组合收益的外生性假设又进一步限制了做市商的风险，使得做市商的收益不是随机变量。与所有的存货模型一样，Ho和Stoll（1981）的多时期模型是建立在一系列严格的假设基础上的，这一系列假设正是存货模型的共同特点。例如，Ho和Sto ll（1981）假设资产的真实价格是固定的，做市商只要决定不同时期的买卖报价；订单的到达过程服从特定的随机过程，在Ho-Stoll模型中，订单的到达是一个稳定的连续时间跳跃过程；交易时期是有限的，在交易结束时，做市商的资产将被清算等。尽管学者们对存货模型作出了严格的假设和推导，但从实证的结果看，并没有发现明显的证券市场存货效应的证据。这种实证结果与理论模型之间的差异，一方面是由于数据以及市场微观结构差异等的影响，但更大的可能是简单的存货模型不具备足够的解释能力来说明证券市场价格行为的特征及其形成原因，因此，有必要进一步提出解释市场价格行为的模型。 Stoll也认为，存货模型是20世纪六七十年代资产组合理论和资本资产定价理论的扩展，其前提假设是交易者均是风险厌恶的，并且具有相同的预期。但是，事实上不同交易者在信息方面是不对称的。从20世纪80年代开始，非对称信息模型为市场微观结构与流动性提供了新的研究工具。
