期货与期权市场运作：价格分布
在详细讨论交易波动率倾斜之前，让我们先讨论一下股票价格的分布。股票和商品价格运动，通常被数学家描述为遵循标准统计分布。最常见的统计分布类型是正态分布。很多学过统计课程的很多人都很熟悉正态分布。在图表6中的左上图就是一个正态分布图。人口的平均数在左上图的中心。这就是，很多的人在平均数的附近，很少高出或低出平均很多。正态分布经常被以很多方式描述总人口，比如说IQ测试的结果或成人的平均身高。在正态分布中，结果可以无限高于或低于平均数，而股票价格可以上升到无限但只能下降到零。因此，用正态分布描述股票价格运动。
图6.1价格分布图解
因此，通常用另一个统计分布来描述股票价格运动。它被称为对数正态分布，就是图61中右上的图。在不同点的曲线高度实质上代表在那些水平股票价格的可能性。曲线的最高点就是平均数—反应出在服从正态分布时，很多的结果是在这个价格附近。或者就股票价格而言，如果将平均数定义为今天的价格，那么在一段时间之后，大部分的股票价格将在平均数附近。对数正态分布允许股票价格上升到无穷（尽管这不大可能）而且不能降到零以下。
数学家已经花费了大量时间，试图准确定义股票价格运动的真实分布，但是对于真实分布究竟是什么还存在一些争议。然而，人们普遍接受了对数正态分布作为这种价格运动的合理近似。那些价格不仅仅只是指股票价格。他们可能是期货价格、指数价格或者利率。
然而，当倾斜存在时，它阐述了价格的另一种分布。图表6.1的右下图描述了能在谷类和金属市场出现的前向倾斜。与对数正态分布的图相比，这个图的形状明显不同：图的右手边可以无限上升，倾斜分布表明基础工具有可能上升一个巨大的量。同时，在图的左边，倾斜分布挤压下降，标志着基础工具下降的可能性比在对数正态分布时小。
左下图表示的是反向波动率倾斜。注意它与标准对数正态分布也是不同的。然而，在这种情况下，左手边被抬得稍高一些，标志着价格下降的可能性比在对数正态分布时大。同样，图标的右手边较平坦，这意味着它暗示的价格不会上升在对数正态分布时那么多。
很多交易商觉得倾斜分布率不是市场运动方式的正确描述。因此，当在组特别的期权中发现重大的波动率偏差，比如表62所示的期权，我们就有了交易的好机会。一个中性的期权套利头寸能够确立一个统计优势，因为这两个期权的隐含波动率不同。
寻找波动率倾斜最好的地方是在相同到期日的期权，如先前OEX和玉米期货的表所显示的。我们倾向于使用相同到期日的期权作为波动率倾斜交易的基础，这是因为：尽管倾斜不会在倾斜的时候消失，事实上期权肯定会在到期的时候趋同，意味着它们与基础工具有相似的行为—一即它们会遵循对数正态分布，而非倾斜分布。
表6.2经常显示波动率倾斜的市场
我们要通过交易波动率倾斜完成的，是获得讨论中期权的隐含波动率而不是过度暴露基础工具的价格运动。你可以使用简单的牛市或熊市套利。那就是，你可以以较低的执行价格购买看涨期权并以较高的价格卖出它。因为是前向倾斜，这意味着你是在比卖出看涨期权低的隐含波动率下购买的看涨期权。这是··种理论的优势。相反，在反向倾斜的情况（OEX、标准普尔和其它指数）下，熊市套利会很好的发挥作用：以较高的执行价格购买看跌期权并以较低的价格卖出它。这也意味着你是在比卖出看跌期权低的隐含波动率下购买的看跌期权。这些垂直套利的问题是他们依靠基础工具的适当运动来获利。这没有什么错误，但是一些波动率交易商偏好用更中性的策略来买卖波动率偏好——在这种策略下，交易商不必预测基础工具是否上升或下降。于是，他们认为最好的策略是垂直套利策略：比率套利或反套利。五、买卖前向（正）倾斜
当波动率的倾斜是正向的，比说谷类期货，那么看涨比率套利或看跌反套利是优先的策略。选择这两个策略的理由是：在每个策略中，交易商都以较低的执行价格买入期权并以较高的执行价格卖出期杈。因为较高的执行价格在正向波动率倾斜中有膨胀的波动率，这些策略具有统计上的优势。优势来源于这样的事实：交易商同时买进价低期权和卖出相同基础工具下的价高期权。这些策略的细节将在以后的内容中进一步说明。在这两种策略中选择的一般途径是：如果隐含波动率与过去一样低，那么我们想要确立反套利的策略。另一方面，如果隐含波动率现在比过去高，我们确立比率套利的策略。在这些选择背后的原因集中在头寸是净买入还是净卖出期权。反套利是净买入期权，所以当隐含波动率低时，我们确立它就像在任意期权情况下的买入策略。相反，如果期权价高，我们选择比率套利作为优先策略，因为它是净卖出期权；在这种类型的套利中有裸式期权。当你以这种方式买卖波动率倾斜时，就会有很多方法赢利。首先，如果波动率倾斜消失，你就能立即贏利。因为你的期权就有了隐含波动率。这种情况极少发生，但确实有时会发生。其次，如果基础工具变动在你预期的赢利范围内，你就会赢利。再次，如果隐含波动率的变动对你有利也会赢利（比如如果你拥有时反向套利，隐含波动率高或者如果拥有比率套利时，隐含波动率低）。
比率套利
比率套利是一种在不同的执行价格下使用完全看涨期权或完全看跌期权的策略，当然也是一种交易商卖出比买入多的策略。因此，这种策略有裸式期权。
图6.2中性交易一比例套利
正因如此，这种策略并不适合所有的交易商。在套利的一边存在有限的风险（这边没有裸式期权），另一边有无限的风险（这边的确有裸式期权）。通常，这样的套利始于 delta中性，这意味着套利者不关心股票开始的运动。当然，一旦头寸合适，套利者就会有基础工具运动方向的偏向。图62中的信息描述了比率套利。这是一个使用看涨期权的常见的例子。尽管与股票期权相比，我们更能在期货市场中找到前向倾斜，这是我们用来买卖前向波动率倾斜的套利类型。尽管如此，这个例子在描述看涨比率套利头寸的总能力时是有用的。看一下下面的例子：
在1998年的XYZ股票中，我们使用10月的90看涨期权和100看涨期权考虑看涨比率套利的开始。看涨期权的详细情况如下图和图6.2所示期
构建delta中性套利的方法是把所涉及的两支期权的 delta相除。这会告诉你相对于你买的每一个期权应该卖多少期权。在这种情况下， delta中性比率是2.0（09除以0.45）。因此，我们想要买进一个10月的90看涨期权并卖出两个10月的100看涨期权。如果我们这么做，开始的头寸就欠债了，因为你买的期权费用是12点，卖出的两个期权（每个是5.5点）只带了11点。因此，我们的负债是1个点再加上佣金。
如果基础工具XYZ普通股下跌，并在到期日时价格在90以下，所有的看涨期权都会毫无价值。我们的损失等于开始的债务或者头寸的赊购—在例子中是一个点再加上佣金。
比率套利的最大利润通常发生在出售看涨期权的执行价格上。在这个例子中最大利润是在XYZ普通股在到期日的价格达到100的情况。下面是个用来计算最大利润的公式：
最大利润=（执行价格的差额ⅹ买入期权的数量）-开始的负债
在这个例子中，最大利润是：（100-0）x×（1）-1=9
这意味着如果XYZ普通股在到期日恰好价格是100，那么卖出期权毫无价值和买入期权价值为10，买入期权总的净利润为9减去佣金。如果基础工具的波动穿过平衡点，比率套利的风险是很大的。在那时，套利中的卖出裸式期权会使套利者遭受到无限或者至少是很大的损失。看涨比率套利的损益平衡点可以通过下面的公式计算：
上部平衡点=裸式期权的执行价格+（最大利润/裸式看涨期权的数量）
在这个例子中，上部平衡点是
上部平衡点=100+（9÷1）=109
看涨比率套利的利润表如图表6.2所示。
因此，如果在到期日基础工具价格在9到109之间套利能够蠃利。但是，如果XYZ上升到109以上，就有可能有巨大的损失。在那种情况下，套利者需要采取一些防护活动以阻止巨大损失的发生。这些活动可以是下面的任意一个：
1.购买适当数目的基础股票的股份为裸式看涨期权保险。
2.回购裸式的看涨期权。
3.使裸式的看涨期权上升到较高的执行价格。
这三个都有优点和缺点，但必须采取一些措施。当出售裸式的期权时，如果基础工具运动速度快到使裸式期权成为一支价内期权，采取防护措施是极重要的。
表6.3波动率倾斜例子：5月白银期货期权
在白银期权中比率套利存在可能性的一个例子—一此时它的前向倾斜非常陡峭——如表6.3所示。注意当这些期权价格存在时，5月期货的交易价格为615。标注VY的那一栏是价格当天提取的期权的隐含波动率。在看涨比率套利可能使用的相关期权如下：
在先前的理论例子中，隐含波动率是倾斜的，所以买入5月的625看涨期权并卖出5月的700看涨期权的策略在理论上是有利的。因为dlta的近似比率为2比1，一个人会在套利中买入一个5月的625看涨期权并卖出两个5月的700看涨期权。这会引起一个小额的负债：
负债=（2×15）-35=-5美分
因为白银期货每美分值50美元，5美分的负债代表250美元负债1美元。再加上佣金是此项套利的最低风险。
再一次使用图标6.2的公式，我们可以确定：
最大利润=（75×1）-5=70美分（价值3500美元）
上部平衡点=700+（70÷1）=770
那么，这似乎是一个有吸引力的套利。如果5月白银到期价格在630到770之间，就会获得利润。如果5月白银价格在625（250美元加佣金）下就会有少量的潜在损失。重大的损失发生在5月白银价格在到期日上升到770美分，即比现在的615高15美分。当然有可能价格上升到这么高，但这很不常见。我们将在以后讨论那些相当严格的可能性标准是如何决定运动的可能性大小的。
反套利
当前向波动率倾斜存在时，买入波动率的第二个策略是反套利。图6.3表示的利润表是看跌反套利——比如卖出一个价内看跌期权并买入两个等价看跌期权。通过图表中的直线可以看出：除了上侧的潜在利润缩短了，反套利与买入跨式期权非常相似。
图6.3中性交易：反套利
从图表中我们可以看出，看跌反套利对下侧有很高的潜在利润。反套利的最大损失比相应的买入跨式期权少，因为反套利一边的潜在利润被放弃了。看涨反套利期权有某些类似的特征。比如通过卖出一个价内看涨期权和买入两个等价看涨期权实现。在下侧（跨式期权购买的一边被“砍下”）有有限的潜在利润，对上策有无限的潜在利润。
如果波动率倾斜在合适的位置，或者你认为特定市场很可能朝一个或另一个方向运动，你可以用反套利代替买入跨式期权。但是，中性决策者通常情况下不会对价格规划感兴趣。相反，当个别期权的隐含波动率存在套利分歧时，隐含波动率决策者会使用反套利。当存在前向波动率倾斜时，看跌反套利将会被使用，因为这涉及到以低执行价格买入期权并以告执行价格卖出期权。这种结构利用了前向波动率倾斜。接着，我们将会看到在反向波动率倾斜时，使用看跌反向波动率倾斜。
图6.3表示了一个看跌反向波动率的例子。在这个特别的例子中，利用7月大豆期货和期权，期货自身在665的价格买卖。期权价格如下：
我们再一次使用delta决定开始的中性比率。在这里，两个delta相除（0.73/0.35）是209。
这仍然与我们使用的特殊的2比1的比率足够接近。在这种情况下，我们买入两个7月的650看跌期权并卖出一个7月的700看跌期权。这项交易带来的盈余为23点减去佣金：出售带来45点的盈余，购买花费了22点。大豆1点的运动价值50美元，所以23点的盈余价值1150美元。
对于赢利能力有很多重要的因素。首先，要注意如果6月大豆恢复的很快，那么所有的看跌期权都会失效并且套利者保持最初的盈余：1150美元减去佣金。
接下来要计算最坏的情况。它发生在在到期日基础工具的价格正好等于买入看跌期权的执行价格。计算最大风险的公式为
最大风险=净盈余-（执行价格的差额×卖出期权的数量
在这个例子中，最大风险=23-（50×1）=-27。
因此在到期日，如果7月大豆价格正好等于买入期权的执行价格，我们就会损失27点（或者说1350美元减佣金）。当然在到期日期货价格正好是这个价格是不太可能的，但尽管价格与此临近，也会有损失的结果。最后，我们计算平衡点。在下侧，公式为
看跌反套利的下侧平衡点=买入期权的执行价格-（最大损失/净买入期权的数量）
在这个例子中，下侧平衡点=650-（27/1）=623。
因此，如果7月期货跌到623以下，可能有巨大的利润。如果期货进一步跌到平衡点以下，就会积累更大的利润。
在套利所涉及的两次执行中也有上平衡点。总的来说，上平衡点的公式为：认股反套利上平衡点=看跌期权的执行价格+（最大损失/卖出看跌期权的数量）
在这个例子中，上部平衡点=650+（27/1）=677
因此，如果7月大豆期货在7月到期时的价格在两平衡点之间（623677），就会有损失了。除了这个范围，利润都会发生，尽管其限制在上侧到开始盈余的数量（23点）。看一下图6.3的利润表，你就会发现它正好与我们此页计算的数据相符。
所以，总的来说，当你发现了一个前向波动率倾斜，可以试图应用看涨垂直套利获利。然而，如果你倾向于较少方向性、更加中性的方法，你可以使用看涨比率套利（如果期权在价高的一侧）或者看跌反套利（如果期权价低）。
