小波分析
把函数分解成一系列简单基函数的表示，无论是在理论上，还是实际应用中都有重要意义。小波变换作为能随频率的变化自动调整分析窗大小的分析工具，自20世纪80年代中期以来得到了迅猛的发展，并在信号处理、计算机视觉、图像处理、语音分析与合成等众多的领域得到应用。
小波变化的主要内容包括：连续小波变换、小波变化的离散化、多分辨分析与Mallat算法。
连续小波变换的性质有：线性、平移不变性、伸缩共变性和冗余性。
由于连续小波变换存在冗余，因而有必要搞清楚，为了重构信号，需针对变换域的变量进行离散化，以消除变换中的冗余。
Mallat使用多分辨分析的概念统一了各种具体小波基的构造方法，并由此提出了现今广泛使用的Mallat快速小波分解和重构算法，它在小波分析中的地位与快速傅里叶变换在傅里叶分析中的地位相当。
二维小波分解与重构算法，利用其可分离特性，在算法实现时分别由对行进行一维小波变换，然后对按行变换后的数据按列进行一维小波变换来完成。
小波变换在量化投资中的案例主要有小波去噪和金融时序数据预测。
但是金融时间序列本身具有非平稳、非线性和信噪比高的特点，采用传统的去噪处理方法往往存在诸多缺陷。而小波理论是根据时频局部化的要求而发展起来的，具有自适应和数学显微镜性质，特别适合非平稳、非线性信号的处理。
采用小波进行金融时序数据预测的原理如下：首先使用Mallat算法对数据进行分解，对分解后的数据进行平滑处理；然后进行重构，而重构之后的数据就成为近似意义的平稳时间序列，这样就得到了原始数据的近似信号；最后利用预测模型进行时间序列预测，例如常用的有AR, MA, ARMA等。
小波分析基本概念
1822年法国数学家傅里叶发表的有关热传导理论的研究文章中，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数理论的基础。傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函数系下展开，使得对信号和系统的研究归结为对简单的三角函数的研究，傅里叶级数与傅里叶变换共同组成了平常所说的傅里叶分析。傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布，理论分析时经常假定周期是2π定义如式：
其中，
小波变换作为能随频率的变化自动调整分析窗大小的分析工具，自20世纪80年代中期以来得到了迅猛的发展，并在信号处理、计算机视觉、图像处理、语音分析与合成等众多的领域得到了应用。
小波分析方法的出现可以追溯到1910年Haar提出Haar规范正交基，以及1938年Littlewood-Paley对傅里叶级数建立的L-P理论。为克服传统傅里叶分析的不足，在20世纪80年代初，便有科学家使用小波的概念来进行数据处理，比较著名的是1984年法国地球物理学家Morlet引入小波的概念对石油勘探中的地震信号进行存储和表示。在数学方面所做的探索主要是R.Coifman和G.Weiss创立的原子和分子学说，这些原子和分子构成了不同函数空间的基的组成部分。
L.Carleron使用非常像小波的函数构造了Stein和Weiss的空间H1的无条件基。直到1986年，法国数学家Meyer成功地构造出了具有一定衰减性的光滑函数Ψ ,它的二进伸缩与平移
构成L² (R)的规范正交基。此前，人们普遍认为这是不可能的，如Daubechies,Grossman和Meyer都退而研究函数系
构成L² (R)的框架。
Lemarie和Battle继Meyer之后也分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1987年，Mallat利用多分辨分析的概念，统一了之前的各种具体小波的构造，并提出了现今广泛应用的Mallat快速小波分解和重构算法。1988年Daubechies构造了具有紧支集的正交小波基，1989年Coifman、Meyer等人引入了小波包的概念，1990年崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的单正交小波基。1992年A. Cohen.I.Daubechhies等人构造出了紧支撑双正交小波基，同一时期，有关小波变换与滤波器组之间的关系也得到了深入研究。小波分析的理论基础就这样基本建立起来了。
