8.一个斐波纳奇数字Fn的平方乘以下一个斐波纳奇数字Fn+1的平方等于斐波纳奇数字气F2n+1。公式Fn2+Fn+12=F2n+1适用于直角三角形，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。例如公式中的变量可以是：F5，F6和根号下F11。
9.有一个公式可以表示数学中两个无处不在的无理数和之间的关系：Fn≈100×π²×∮(15-n)，这里∮=0.618……，n代表斐波纳奇序列中各项的序列号，而Fn则表示这个项本身。在这个公式中n从序列的第二项开始，因此F1≈1，F2≈2，F3≈3，F4≈5，等等。
例如，设n=7，则：
F7≈100×3.14162×0.6180339(15-7)
≈986.97×0.61803398
≈986.97×0.02129≈21.01≈21
10.还有一个现象，据我们所知以前未曾提到过，即，斐波纳奇数字间的比值非常接近于另一个斐波纳奇数字的1‰，其差值又是第三个斐波纳奇数字的1‰，在序列中都是如此(见比率表，图1)①。因此，在比率上升方向，相同的斐波纳奇数字之比是1.00，或0.987加上0.013；相邻的斐波纳奇数字之比是1.618，或1.597加上0.021；依此类推。在比率下降方向，相邻的斐波纳奇数字之比是0.618，或0.610加上0.008；相隔一项的斐波纳奇数字之比是0.382，或0.377加上0.005；相隔两项的斐波纳奇数字之比是0.236，或0.233加上0.003；相隔三项的比率是0.146，或0.144加上0.002；相隔四项的比率是0.090，或0.089加上0.001；相隔五项的比率是0.056，或0.055加上
①原作者的这种分析，是从斐波纳奇序列的第二项开始——译者。
0.001；相隔六项至相隔十二项的比率本身就是从0.034开始的，一个斐波纳奇数字的千分之几。有趣的是，根据这种分析，相隔十三项的两个斐波纳奇数字之比又回到了0.001，斐波纳奇序列数字开始的1‰。在所有的计数中，我们真的像斐波纳奇序列数字的祟拜者所说的那样，创造了“在一个无穷级数中繁衍”的“特征传递”，揭示了“所有数学关系中最紧密的一类”的特性。
最后，我们注意到，(根号下5+1)/2=1.618而(根号下5 -1)/2=0.618。这里根号下5=2.236，5是波浪理论中的一个最重要的数字，而它的平方根∮是的数学解。
图1
1.618(或0.618)即所谓黄金比(GoldenRatio)或黄金平衡(Golden Mean)。它的比例和谐悦目。它在音乐、绘画、建筑和生物领域里都有表现。威廉·霍法(William Hoffer)①在1975年12月号的《史密森人》(Smithsonian Magazine)②杂志中写到：
……0.618034与1之比是玩纸牌与巴台农神庙(Parthenon)③ ，向日葵与蜗牛壳、希腊花瓶与外宇宙的螺旋星系的数学基础。大多数古希腊的绘画和建筑都是基于这个比例。古希腊人称其为“黄金平衡”。
斐波纳奇的魔术兔子，在许多以外的的地方出现。免子的对数无疑是一种神秘的自然的和谐，这种和谐舒爽、悦目、甚至动听。比如，音乐的一度有八个音符。在钢琴上它①一位美国的自由撰稿人。下面的这段摘录出自他的关于斐波纳奇数字的文章——译者。
②美国史密森学会(SmithsonInstitute)于1970年创办的一份科普读物，内容涉及科学、艺术、历史、自然，以及有趣的人、地方和想法。其读者来自于社会的各个阶层——译者。
③祭祀希腊智慧女神雅典娜·巴台农(AthenaParthcnos)的神庙，位于希腊首都雅典。始建于公元前五世纪，是希腊建筑的代表作——译者。
用8个白键，5个黑键表示——共13个键。最悦耳动听的音乐是大六度绝不是巧合。音符E的振动是音符C至A的0.62500倍，仅仅与黄金平衡相差0.006966，大六度的比率引起内耳耳蜗——正好也是呈对数螺线的形状的器官——的和谐振动。
斐波纳奇数字和黄金螺线在自然界中的不断出现，精确地解释了为什么0.618034与1之比在绘画中让人感觉如此赏心悦目。我们可以在绘画中发现基于黄金平衡的模特肖像。
小到原子结构、大脑中的微细管以及DNA①分子(见图2)，大到行星的距离和周期，大自然在它的造化和高级模式中采用黄金比。它包含在非常广泛的现象中，如准晶体排列，光束在玻璃表面上的反射，大脑和神经系统，乐曲改编，植物和动物的结构。科学正在证明有一种基本的自然比例构造原理。顺便说一下，你用你五个附肢中的两个拿着这本书，每个附肢有三个相连的部位，附肢的顶端有五个手指或脚趾，而每个手指或脚趾又有三个相连的部分，这是个或许可以说明波浪理论的5-3-5-3的行进。
图2
① 氧核糖核酸(Deoxyribonucleic Acid)的缩写，基因的基本成分——译者。
